f(x)=ax^2+bx+c,求f(f(x))=x有四个根的充要条件

答:
f(f(x))=x有四个根的充要条件为
a≠0,
(b-1)^2≥4(ac+1)

f(f(x))-x
=a[f(x)]^2+bf(x)+c-x
=a{[f(x)]^2-x^2}+b[f(x)-x]+ax^2+bx+c-x
=a{[f(x)]^2-x^2}+b[f(x)-x]+f(x)-x
=[f(x)-x][af(x)+ax+b+1]
=[ax^2+(b-1)x+c][a^2x^2+a(1+b)x+ac+b+1]
（1）必要性
由题意f(f(x)=x有四个根，
则必有
ax^2+(b-1)x+c=0,
a^2x^2+a(1+b)x+ac+b+1=0,
同时各有两个实数解。
所以必有
a≠0,
(b-1)^2-4ac≥0,
a^2(1+b)^2-4a^2(ac+b+1)≥0,
整理即得
a≠0,
(b-1)^2≥4(ac+1).

（2）充分性
a≠0,
(b-1)^2≥4(ac+1),
则在
f(f(x))-x
=[ax^2+(b-1)x+c][a^2x^2+a(1+b)x+ac+b+1]
中两个二次方程△≥0，
所以方程
f(f(x))=x有四个根.